问复数的运算公式

【复数的运算公式】在数学中，复数是实数与虚数的组合，形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数在物理、工程和信号处理等领域有广泛应用。掌握复数的基本运算公式，有助于更深入地理解其性质与应用。

以下是复数常见的几种基本运算及其公式总结：

一、复数的加法

若 $ z_1 = a + bi $，$ z_2 = c + di $，则：

$$

z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

$$

二、复数的减法

$$

z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

$$

三、复数的乘法

$$

z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

$$

四、复数的除法

若 $ z_2 \neq 0 $，则：

$$

\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

$$

五、复数的共轭

复数 $ z = a + bi $ 的共轭为 $ \overline{z} = a - bi $。

六、复数的模（绝对值）

$$

$$

七、复数的极坐标表示

设 $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $，其中：

- $ r = z = \sqrt{a^2 + b^2} $

- $ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $

八、复数的幂运算（棣莫弗公式）

$$

z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))

$$

九、复数的开方

对于 $ n $ 次根，有：

$$

\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right), \quad k = 0, 1, ..., n-1

$$

十、复数的指数形式

$$

z = re^{i\theta}

$$

复数运算公式汇总表

通过以上公式和表格，可以系统地掌握复数的运算方法。在实际应用中，灵活运用这些公式能够帮助我们更高效地解决涉及复数的问题。