【二项展开式的公式是什么】在数学中，二项式定理是用于展开形如 $(a + b)^n$ 的表达式的重要工具。它广泛应用于代数、组合数学以及概率论等领域。掌握二项展开式的公式对于理解多项式展开和组合系数的计算具有重要意义。
一、二项展开式的公式总结
二项展开式的通用公式为：
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
其中：
- $n$ 是一个非负整数；
- $\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个的组合方式数目，也写作 $C(n, k)$ 或 $C_n^k$；
- $a$ 和 $b$ 是任意两个数或变量；
- 展开后的每一项形式为 $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$，其中 $k = 0, 1, 2, ..., n$。
二、二项展开式的各项特点
| 项数 | 项的表达式 | 系数 | 次数关系 |
| 第1项 | $\binom{n}{0} a^n b^0$ | $\binom{n}{0} = 1$ | $a^n$ |
| 第2项 | $\binom{n}{1} a^{n-1} b^1$ | $\binom{n}{1} = n$ | $a^{n-1}b$ |
| 第3项 | $\binom{n}{2} a^{n-2} b^2$ | $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ | $a^{n-2}b^2$ |
| ... | ... | ... | ... |
| 第k+1项 | $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ | $\binom{n}{k}$ | $a^{n-k}b^k$ |
| ... | ... | ... | ... |
| 最后一项 | $\binom{n}{n} a^0 b^n$ | $\binom{n}{n} = 1$ | $b^n$ |
三、举例说明
以 $n = 4$ 为例，$(a + b)^4$ 的展开式为：
$$
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
$$
对应的组合数分别为：
- $\binom{4}{0} = 1$
- $\binom{4}{1} = 4$
- $\binom{4}{2} = 6$
- $\binom{4}{3} = 4$
- $\binom{4}{4} = 1$
四、总结
二项展开式是代数中的基础内容，其公式清晰且结构对称，便于记忆与应用。通过理解每一项的形式和系数的计算方式，可以更深入地掌握多项式的展开规律。无论是理论学习还是实际应用，二项式定理都是一项非常有用的工具。